L'equilibrio di Nash

L'equilibrio di Nash è una situazione di equilibrio dei giochi non cooperativi, in assenza di strategie dominanti.

Cos'è una strategia dominante? E' una strategia che conduce all'equilibrio ottimale, indipendentemente dalla strategia dell'avversario. Nel caso degli equilibri di Nash non ci sono strategie dominanti.

Ad esempio, il giocatore A può scegliere tra alto o basso mentre il giocatore B tra sinistra o destra.

La matrice dei pay-off è la seguente:

Dal punto di vista individuale la scelta migliore per il giocatore A è "alto", perché così può ottenere un pay-off massimo pari a 2.

Dal punto di vista individuale del giocatore B la scelta migliore è "destra", perché in questo modo può conseguire un pay-off massimo pari a 2.

Così facendo, però, l'equilibrio si colloca nel secondo quadrante, dove nessun giocatore ottiene nulla (0).

Quindi, le scelte individuali ottimali conducono a un equilibrio non ottimale.

Pertanto, la strategia del giocatore B dipende dalle scelte del giocatore A. E' il classico caso di una strategia non dominante.

Cosa afferma la teoria di Nash?

Secondo John Nash, la decisione è razionale soltanto quando un giocatore decide la propria mossa migliore tenendo conto della scelta migliore degli altri giocatori.

La scelta di un giocatore è ottima per Nash se è la migliore possibile data la scelta del giocatore avversario.

Un esempio pratico

Quando il giocatore A sceglie "alto", al giocatore B conviene scegliere "sinistra".

D'altra parte, se il giocatore B sceglie "sinistra", al giocatore A conviene scegliere "alto".

In questi casi si dice che la casella alto-sinistra è un equilibrio di Nash.

Dimostrazione. La scelta di A è ottima data la scelta di B e la scelta di B è ottima data la scelta di A.

Ogni giocatore sceglie la decisione ottimale, data la decisione dell'altro giocatore.

Secondo Nash ogni giocatore razionale dovrebbe fare il bene per sé e per gli altri.

Nota. Fare il bene per sé e per gli altri non è una scelta altruistica, come si può erroneamente credere. Al contrario è una scelta utilitaristica. Ogni giocatore razionale dovrebbe scegliere la propria mossa considerando la reazione migliore possibile dell'altro giocatore.

Le caratteristiche dell'equilibrio di Nash

L'equilibrio di Nash ha le seguenti caratteristiche:

1. Possono esistere più equilibri di Nash
   Alcuni giochi, in particolar modo i giochi simmetrici, hanno più equilibri di Nash.

   Esempio. Il precedente esempio di gioco ha due equilibri di Nash. Si può dimostrare con la stessa logica seguita per la casella in alto a sinistra che anche la casella in basso a destra è un'equilibrio di Nash. Quindi, ci sono due equilibri di Nash.
   

2. Alcuni giochi non hanno un equilibrio di Nash
   Non è detto che esista un equilibrio di Nash. Può anche mancare del tutto.

   Esempio. Nel seguente gioco nessuna casella è un equilibrio di Nash.
   

3. Gli equilibri di Nash possono essere sub-ottimali
   Un equilibrio di Nash non è detto che sia una soluzione pareto-efficiente. Potrebbe esserlo oppure no. Alcuni equilibri di Nash sono ottimali, altri sono sub-ottimali.

   Esempio. Nel dilemma del prigioniero l'equilibrio di Nash coincide con la soluzione socialmente peggiore per tutti.