La matrice di payoff
Nella teoria dei giochi per analizzare le strategie dei giocatori e l'interazione strategica si utilizzano le matrici di payoff. A volte la matrice di payoff è anche conosciuta come matrice delle vincite.
Nota. In particolar modo, la matrice è uno strumento molto utile per rappresentare e studiare i giochi a due giocatori a un turno.
La matrice di payoff è uno strumento fondamentale per capire la teoria dei giochi e l'equilibrio di Nash.
Come costruire una matrice di gioco
In un gioco a due giocatori, ogni giocatore può compiere N azioni.
Quindi, disegno una matrice con N righe e N colonne.
Ogni riga rappresenta un'azione del giocatore B.
Ogni colonna rappresenta un'azione del giocatore A.
Nota. In questo caso sto ipotizzando che entrambi i giocatori possano compiere le stesse mosse. Per questa ragione la tabella è una matrice quadrata. Se i giocatori non avessero le stesse mosse, la matrice avrebbe una forma rettangolare.
La cella della matrice individuata dall'intersezione di una riga e di una colonna, mostra le conseguenze dell'interazione per entrambi i giocatori ossia il premio di gioco ( o ricompensa ).
Un esempio pratico: la morra cinese
Uno dei giochi più semplici da rappresentare è la morra cinese.
Ogni giocatore ha tre scelte: carta, forbice, sasso. Quindi, disegno la matrice di payoff è una matrice quadrata 3x3.
In ogni cella è indicato il risultato finale del gioco, dove 1 significa vittoria.
Per convenzione, il primo valore del payoff indica il premio del giocatore-riga.
Esempio. Il risultato (1,0) vuol dire che il giocatore-riga (B) vince mentre il giocatore-colonna perde. Il risultato (0,0) vuol dire che i giocatori pareggiano. Il risultato (0,1) indica la vittoria del giocatore-colonna (A).
La tabella mostra tutte le possibili interazioni strategiche e i conseguenti risultati di gioco.
A cosa serve la matrice di payoff?
Tramite la matrice di payoff posso capire:
- la strategia più razionale dei giocatori
- l'esistenza di un'eventuale strategia dominante
Cos'è una strategia dominante? E' una strategia migliore in assoluto. La strategia dominante viene scelta dal giocatore indipendentemente dalla scelta dell'avversario. Quando esistono danno certezza alla previsione. Sono però strategie molto rare da trovare. In gran parte dei "giochi" non ci sono strategie di gioco dominanti per nessun giocatore.
- l'esito finale del gioco.
In questo caso si è trattato di un semplice gioco a un turno contemporaneo e privo di strategia dominante.
Nota. L'analisi sarebbe decisamente più interessante se analizzassi il dilemma del prigioniero o il problema del libero battitore.
Tuttavia, lo stesso metodo posso usarlo per rappresentare situazioni molto più complesse. Ad esempio le trattative economiche, le strategie politiche o militari.
Come John Nash insegna, la matrice di payoff è uno strumento previsionale di grande potenza.
In grado di mettere in crisi persino la "mano invisibile" di Adam Smith.
Nota. Nemmeno Marx era mai riuscito a criticare così alla radice la teoria dell'equilibrio di mercato di Adam Smith. Ma questo è un altro discorso e non voglio confondere troppo le idee... ne parlerò in un'altra pagina perché la questione merita un approfondimento.
