Il valore atteso

Il valore atteso, noto anche come speranza matematica, serve a descrivere in modo sintetico e razionale ciò che ci si aspetta in media da un esperimento aleatorio.

In altre parole, se ripetessi un gioco, un’estrazione o un qualsiasi fenomeno casuale migliaia di volte, il valore atteso mi direbbe qual è il guadagno (o la perdita) medio per ogni ripetizione.

E' un concetto fondamentale della teoria delle probabilità.

Nota. Nel calcolo del valore atteso bisogna distinguere tra variabili casuali discrete o continue. Qual'è la differenza? Una variabile casuale discreta può assumere solo un numero finito o numerabile di valori distinti, come il risultato di un dado o il numero di clienti in coda. Una variabile casuale continua, invece, può assumere infiniti valori all’interno di un intervallo, come l’altezza di una persona o la temperatura, e si descrive tramite una funzione di densità.

Definizione del Valore Atteso (caso discreto)

Una variabile casuale discreta $V$ può assumere $n$ diversi valori distinti $v_1, v_2, ..., v_n$, ciascuno con una probabilità associata $p_1, p_2, ..., p_n$ tale che la somma sia pari a 1.

$$ \sum_{j=1}^n p_j = 1 $$

Quindi, nel caso delle variabili casuali discrete la formula del valore atteso si scrive:

$$ \mathbb{E}[V] = \sum_{j=1}^n v_j \cdot p_j $$

Dove la somma coinvolge un numero finito $ n $ di termini, uno per ciascun valore possibile della variabile.

Esempio. Una lotteria offre tre premi: 100€, 50€ e 0€, con probabilità rispettive 0.1, 0.2 e 0.7. Il valore atteso è: $$
 \mathbb{E}[V] = 100€ \cdot 0.1 + 50€ \cdot 0.2 + 0€ \cdot 0.7 = 10€ + 10€ + 0€ = 20€ $$ In media, ogni biglietto vale 20€, anche se nessun premio è esattamente pari a 20€.

Va detto che il valore atteso non è un valore predittivo, ma un indicatore medio.

In molti casi, non coincide con nessuno degli esiti possibili.

A cosa serve? Perché è importante?

In parole povere, serve come riferimento per valutare la convenienza o il rischio associato a un’azione.

Esempio. Nel lancio di una moneta guadagno 100€ se esce testa o perdo tutto se esce croce (0€). In questo caso la probabilità è del 50% $$  p(\text{testa}) = 0.5 $$ $$ p(\text{croce}) = 0.5 $$ Quindi, il valore atteso è $$ \mathbb{E}[V] = 100€ \cdot 0.5 + 0€ \cdot 0.5 = 50€ $$ In media, ogni lancio vale 50€, anche se non esiste un premio da 50€.

Il valore atteso è un criterio oggettivo per prendere decisioni in contesti di incertezza.

Le applicazioni pratiche del valore atteso sono numerose e trasversali a diversi ambiti.

• In finanza, consente di valutare la redditività media di un investimento;
• in statistica, è utile per stimare la media reale di una popolazione;
• nella teoria dei giochi, aiuta a scegliere tra strategie alternative;
• in economia, permette di confrontare decisioni in condizioni di incertezza.

In sintesi, è uno strumento fondamentale per orientarsi in scenari probabilistici complessi. 

Valore atteso nel caso continuo

Per una variabile casuale continua $ X $, si utilizza un’integrazione al posto della somma. La formula è:

$$ \mathbb{E}[X] = \int_{-\infty}^{\infty} x \cdot f(x) \, dx $$

dove $f(x)$ è la funzione di densità di probabilità della variabile. La logica resta identica: moltiplico ogni possibile valore per la sua probabilità infinitesima.

Esempio.Considero una variabile casuale continua $X$, distribuita uniformemente sull'intervallo $[0, 1]$. In questo caso, la funzione di densità di probabilità $f(x)$ è costante e vale $1$ per ogni $x \in [0,1]$, poiché l’area totale sotto la curva deve essere 1. Per calcolare il valore atteso (cioè la media teorica) di $X$, si usa la formula dell’integrale: $$\mathbb{E}[X] = \int_0^1 x \cdot f(x) \, dx = \int_0^1 x \cdot 1 \, dx = \left[ \frac{x^2}{2} \right]_0^1 = \frac{1}{2}$$ Quindi, anche se i valori possibili sono infiniti, la media della distribuzione uniforme su [0,1] è esattamente 0.5, il centro dell'intervallo.

In conclusione, il valore atteso è come una bussola matematica: non dice cosa accadrà, ma orienta verso la scelta più saggia in presenza di incertezza.

È uno degli strumenti più potenti per valutare rischi, benefici e scelte strategiche nel mondo reale.

E così via.